Gitarrenmagazin Online

oder: Die ungoldene Mitte.

Um das Rätsel mit dem Pythagoreischen Komma noch aufzulösen, muß ich leider vom Apfel einen Umweg über die Schlange machen. Nicht die Schlange, sondern die aus Michael Endes unendlicher Geschichte, die sich selbst über ihre Schwester in den Schwanz beißt...

Das Tritonus-Intervall habe ich hergeleitet über das Intervall H/F:

Zitat:

...Für die meisten Musiker ist ein Tritonus das Intervall C -> Fis. Geht aber auch mit nur weißen Tasten. Da kommen Gitarristen eigentlich leichter drauf als andere: Einfach mal C auf der A-Saite greifen, Fis auf der D-Saite, und dann einen Bund runterrutschen. Dann komme ich auf das Intervall H-> F, das schaffe ich am Klavier wieder mit nur weißen Tasten. Nehmen wir als Prototypen des Tritonus das Intervall H->F.

Kurz nachrechnen: H/F = (243/128)*(3/4) = 729/512. Das ist wieder so ein Bruch, den man nicht kürzen kann, weil auf dem Bruchstrich nur 3en stehen, darunter nur 2en...

Natürlich habe ich auch da wieder ein wenig gemogelt.

Ich gehe da bruchrechnend von Fis/C nach H/F und kehre dabei das Verhältnis einfach um. Streng genommen (harmonisch, nicht musikalisch...) darf ich das, eine übermäßige Quarte in eine verminderte Quinte verwandeln. Da kein Mensch bei einem gleichstufig gestimmten Instrument (z.B. ein modernes Piano) den Unterschied hören kann, und weil es harmonisch, ergo physikalisch keinen Unterschied gibt. In der kompositorischen Anwendung mag es ja Unterschiede geben, aber ich gestehe, daß ich das ein klein wenig für akademische Kunst halte, gewürzt vielleicht mit einem winzigen Anflug Metaphysik...

Warum tausche ich? Ganz einfach: Wenn man mal am Klavier die Halbtöne zählt, dann stellt man fest, daß der Tritonus mit sechs Halbtönen genau in der Mitte der Tonleiter liegt. Sechs Halbtöne = drei Ganztöne, daher auch die Vorsilbe "Tri" beim "Tri-Tonus".

Kennst Du die Geschichte von dem Mann, der auf einer Insel landet, und der erste Mensch, er ihm begegnet klärt ihn auf: "Vertrauen sie mir: Alle Menschen auf dieser Insel sind Lügner". Genau so ein Paradoxon gibt es hier. Ich kann ich mit meiner eigenen Rechnung nachweisen, daß meine eigene Rechnung lügt:

1. Herleitung: H/F = (243/128)*(3/4) = 729/512

2. Herleitung: F'/H (4/3)*(2/1)*(128/243) = 2*512/729

Beides sind Tritonus, beide sind gerade 3 Ganztöne auseinander. Dann müssen beide Intervalle aber das gleiche Verhältnis zueinander aufweisen. Sonst hätte ich ja gelogen...

Bezeichne ich den Bruch 729/512 mit "a", also

a = 729/512

dann gilt

1. Herleitung: H/F = a

2. Herleitung: F'/H = 2/a

Die beiden Verhältnisse sollen gleich sein,

a = 2/a, multiplizieren mit a, daraus folgt

a² = 2, daraus folgt

a = wurzel(2)

Wurzel 2 zählt zu den algebraischen, irrationalen Zahlen. Die können keine ganzzahligen, rationalen Brüche sein. Als Hippasos gezeigt hatte, daß es solche irrationalen Zahlen gibt, und daß ausgerechnet Wurzel 2 so eine Zahl ist, wurde er dafür von seinem Lehrer Pythagoras wegen weltanschaulicher Differenzen umgebracht. Eine Tradition, die sich im christlichen Abendland recht lange gehalten hat. Obwohl - vielleicht nicht nur im christlichen Abendland...

Weder das Verhältnis 729/512, noch das Verhält 2*512/729 können also die Lösung des Tritonus sein. Man braucht dazu die Wurzel aus 2. Womit man ironischerweise gerade wieder beim Lehrsatz des Pythagoras rauskommt. Auch wenn er das menschlich gesehen so gar nicht verdient hat. Er hatte sich da schlicht in etwas verrannt.

Tatsächlich beruht die Tonleiter, wie wir sie heute kennen, als harmonischer Wohlklang nicht auf dem mystischen Verhältnis ganzer Zahlen, sondern auf einer Reihenentwicklung, deren mathematischer Ursprung die 12-te Wurzel aus 2 ist: 1,0594630943592952645618252949463... (sie endet tatsächlich nicht, niemals). Und die wohltemperierte Stimmung enthält außer der Oktave kein einziges, reines, "rationales" Intervall.

Welchen Nutzen hat dann die pythagoreische Tonleiter?

Nun, sie verdeutlicht - von einem relativ kleinen Rechenfehler abgesehen - den inneren Zusammenhang, die innere Harmonie der Töne in der Tonleiter. Und der Gitarrenspieler kann diesen Zusammenhang sogar in die konkreten, zum Teil sogar sichtbaren Schwingungen der Saiten übertragen und findet sie wieder in der Anordnung der Bünde ebenso wie in der Anordnung der Flageolett-Punkte. Die Flageolett-Technik an sich kann daran erklärt werden. Und sogar der Rechenfehler hat einen nützlichen Effekt: Er erklärt zum einen, wieso die Flageolett-Punkte unterhalb des 5. Bundes nicht nicht mehr genau über den Bundstäbchen liegen, und wieso der Flageolett im 7. Bunden zwar ein reiner, aber kein wohltemperierter Ton ist und sich für die Stimmung des Instruments nicht eignet. Aber zu alldem mehr in einem anderen Artikel.

Bleibt noch eine Anmerkung an alle Metaphysiker, die man dem Physiker schlichten Gemüts, dem einfachen Beobachter und Handwerker der Natur nachsehen möge:

Leider ist das Tritonus-Verhältnis nicht die goldene Zahl Phi = 1+(1/Phi), die man aus dem goldenen Schnitt kennt. Wenn das so wäre, hei, da ließe sich mystizieren ohne Ende. Die goldene Zahl findet man nämlich geometrisch am schnellstens im Fünfeck, das man in der Natur recht häufig in Pflanzenständen finden. (Hat genau genommen energetische Gründe, ist gar nix wirklich mystisches.) Und das Fünfeck findet man - richtig, im Apfel. Da war er wieder. Wenn man ihn nämlich quer durchschneidet und nicht längst, wie man das meistens macht, der praktisch schälbaren Schnitzen wegen, dann findet man ein fünfeckiges Kernhaus. Apfel heißt auf lateinisch "Malus". Das Böse heißt auf lateinisch bekanntlich ebenfalls "Malus". So wurde aufgrund einer falschen Bibelübersetzung irgendwann mal aus der "Frucht der Heilung" (tatsächlich war eine Feige gemeint) der Apfel als Frucht des Bösen. Klar, kommt ja auch von einem Weib. Und das Pentagramm wurde deswegen zum Symbol des Teuflischen schlechthin. Es gibt sogar etymologische Ableitungen des Namens "Eva", die auf den Apfel und der darin enthaltenen Zahl 5 zurückgehen, womit irgendwelche verschimmelten Sumerer oder Babylonier, Vorfahren der Perser und Iraker, dann den Begriff des "Leben Schenkens" verquickt haben...

Aber so steht hinter dem Tritonus bloß die Wurzel aus 2: 1,4142135623730950488016887242097... (endet auch nie.) Die findet man am schnellsten - unter der Dusche. Nämlich als imaginäres Muster in den Kacheln an der Wand. (So sie quadratisch sind.) Oder so wie ein Fiesling namens Pythagoras, dem die Teil-Erleuchtung einst in der Badewanne kam. Beim Betrachten des gefliesten Fußbodens. Sagt man.

Manchmal kann Physik ja sowas von prosaisch sein...