oder: Warum weniger manchmal mehr ist.

Im ersten Teil wurde ein etwas genauerer Blick darauf gelenkt, wie Saiten eigentlich schwingen, nämlich nicht bloß einfach hin und her, sondern daß da genau genommen Wellen auf einer Saite stehen, die einer Reihe ebenso einfacher wie strenger Gesetzmäßigkeiten gehorchen. Diese Wellen können nur ganz bestimmte Zustände einnehmen, was im wesentlichen damit zu tun hat, daß die beiden Enden der Saite fest eingespannt sind.

 Die einzelnen Zustände von Wellen - wir wollen sie "Wellenzahlen" nennen, das ist anschaulicher - unterscheiden sich durch die Anzahl der Bäuche und Knoten der Wellen. Die Knoten einer möglichen, von der Natur erlaubten Wellenzahl teilen die Saite immer in ganzzahligen Brüchen, also 1/1 für die Grundschwingung, 1/2 für die erste Oberwelle, 1/3, 1/4 u.s.w.. Und wie gesagt: An den Enden der Saite befinden sich immer Knoten, weil die Saite da fest eingespannt ist. Dabei stehen die Frequenzen, mit der Wellenzahlen schwingen können, ihrerseits immer in ganzzahligen Verhältnissen zueinander, also das 1-fache für die Grundfrequenz, 2-fach für die erste Oberwelle, 3-fach, 4-fach u.s.w. Wer sich noch an die kleinen Filme mit dem Abschleppseil erinnert - man kann sich gut vorstellen, daß jemand das Seil bei so einem Knoten zwischen Daumen und Zeigefinger nimmt, ohne die gerade angeregte Schwingung zu stören.

 Das wichtigste für das Flageolett ist: All diese Wellenzahlen können gleichzeitig auf der Saite vorkommen, und sie stören einander gegenseitig nicht. Anzahl und Intensität dieser "Oberwellen" bestimmen dabei in ihrer Summe den Klang, den man hört.

Die Rechteck-Schwingung, deren Zusammensetzung gezeigt wurde, klang allerdings noch nicht so besonders schön. Trotzdem möchte ich noch einmal kurz darauf eingehen:

Aus diesen Wellenzahlen wurde die Rechteck-Schwingung zusammengesetzt. Wenn man sich das Bild etwas genauer anschaut, sieht man, daß da nur die ungeradzahligen Vielfachen der der Grundfrequenz addiert wurden. Und es gibt noch eine Gesetzmäßigkeit: Die 3-fache Wellenzahl hat gerade die Amplitude - also die "Höhe" der Schwingung - von ~0,33, also gerade 1/3 der Amplitude der Grundfrequenz. Die 5-fache Wellenzahl schwingt mit einer "Höhe" von 0,2, also gerade 1/5. Die 7-fache mit ~0,14, also gerade 1/7 der Höhe der Grundfrequenz. Die Amplitude oder "Höhe" wollen wir einfach verstehen als ein Maß für die Lautstärke, mit der diese Oberschwingung im Gesamtkonzert mitklingt.

Trägt man nun einfach mal auf, welche Wellenzahlen auftreten und mit welcher Amplitude sie das tun, bekommt man folgendes Bild:

Wie man sieht, fehlen die geradzahligen Oberwellen völlig, und die ungeradzahligen treten jeweils mit 1 geteilt durch ihre Wellenzahl als Amplitude auf. Zusammengesetzt ergibt sich dann eine Rechteck-Schwingung.

Man nennt diese Art der Darstellung auch das Spektrum der Rechteck-Schwingung.

Ein Spektrum ist in der Akustik tatsächlich nicht mehr, als solch ein Bild. Denkbar einfach hergeleitet. Man lasse sich also von irgendwelchen, ungeheuer wichtig tuenden Experten nicht verwirren - tatsächlich ist es nichts anderes.

Für diejenigen unter Euch, die den den Umgang mit Formeln gewohnt sind, und die es vielleicht auch interessiert, dieses Spektrum läßt sich schreiben als:

Aber man braucht diese Formel wirklich nicht, um diesen Artikel zu lesen. Sie ist nur der Vollständigkeit halber angegeben. Und ich werde ganz sicher nichts weiter damit tun, als sie hinzuschreiben. Ich werde nicht damit rechnen. Großes Gitarristen-Ehrenwort!

Nun klingt dieses Spektrum ja nicht so besonders ansprechend. Ganz im Unterschied zu einer Gitarren-Saite. Und wenn man sich das Spektrum einer gezupften Gitarren-Saite anschaut, dann sieht das auch tatsächlich ganz anders aus:

Über die genaue Herleitung wollen wir uns gar keinen Kopf machen. Schon gar nicht über die Formel, die da in der Graphik steht. Tatsächlich habe ich ausgerechnet, was auf meiner geliebten, altehrwürdigen Takamine C132-S mit 66er Mensur passiert, wenn ich eine auf A gestimmte G-Saite über dem Schalloch anschlage, also bei ungefähr 1/3,75 ihrer Länge. Braucht man aber alles nicht zu beachten für diesen Artikel. Brauche ich vor allem, um auf meinem Rechner unter hunderten von Dateien etwas Ordnung zu halten. Ich gebe unten noch paar Hinweise für die Interessierten, mehr aber auch nicht.

Aber so ein paar Dinge fallen schon auf, wenn sich das Spektrum anschaut. Zum Beispiel gibt es auf der Saite geradzahlige und ungeradzahlige Wellenzahlen gleichzeitig. Und bei den Wellenzahlen 4, 7, 11 u.s.w. scheint die Saite gar nicht so recht schwingen zu mögen. Aber das mit dem gemischten Auftreten ungerader und gerader Wellenzahlen ist für das Flageolett viel wichtiger.

Doch wie sieht das nun als Schwingung aus? Also habe ich die einzelnen Wellen mal ausgerechnet, alles zusammen addiert, und das Ganze in der Zeit aufgelöst dargestellt:

Dünn gezeichnet sind die einzelnen Oberwellen des Spektrums, dick und rot die Summe aller Oberwellen, also die tatsächliche Form der schwingenden Saite.

 Das Ergebnis mag etwas verblüffen. Die Saite schwingt tatsächlich nicht bloß einfach hin und her, sondern es sieht so aus, als "schwappte" auf ihr eine Welle zwischen den Enden hin und her. Das Ganze gleicht eher Wasser in einer flachen Schüssel als einer schwingenden Feder. Und wer ganz genau hingeschaut hat, dem ist vielleicht sogar aufgefallen, daß ich bei der einfachen Welle im Abschleppseil schon nicht ganz verhindern konnte, daß sich die eine oder andere Oberwelle dazu gemogelt hat. Meine Seilschwingung schwappt nämlich auch ein ganz klein wenig hin und her.

Und wie kommen wir nun zu unserem Flageolett?

Nun, ich möchte mal den Mittelteil dieser Animation vergrößern, also den Bereich, wo die erste Oberwelle und alle geradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz einen Knoten haben:

Es gibt Oberwellen, die in dem Bereich einen Knoten haben. Insbesondere die erste Oberwelle (in einer Art von Lila dargestellt) scheint richtig um den Mittelpunkt der Saite hin und her zu pendeln.

Wenn ich nun an genau der Stelle die Saite nur ganz sanft festhalte, gerade so fest, daß sie auf beiden Seiten des Mittelpunkts noch frei schwingen kann - also keinesfalls richtig "greifen" - dann werden die geradzahligen Oberwellen dadurch nicht beeinträchtigt und können immer noch frei und ungehindert schwingen. Die ungeradzahligen Oberwellen aber werden so stark bedämpft, wörtlich genommen "unterdrückt", daß sie zur Gesamtwelle nicht mehr beitragen können. Das sieht dann am Mittelpunkt der Saite so aus:

 Jetzt sind alle ungeradzahligen Oberwellen entfernt. Die Auslenkung der Saite an ihrem Mittelpunkt ist Null.

Die gesamte Saite schwingt daher nun anders. Aus dem Spektrum oben sind alle ungeradzahligen Wellen einschließlich der Grundfrequenz gleichsam gelöscht:

 Die gesamte Saite "schwappt" immer noch ein wenig, aber deutlich weniger als die ungestörte Saite. Die Schwingung gleicht - von ein paar Rippeln abgesehen - auch schon deutlich mehr einem einfachen, runden Sinus. Auch schwingt die Saite insgesamt doppelt so schnell, also mit der doppelten Frequenz. Aus dem Artikel über die "Harmonie der Tonleiter" weiß man, was das bedeutet: Der Ton klingt eine Oktave höher.

Dies ist das über dem 12. Bund gegriffene, erste Flageolett.

Hier teilt sich die Saite genau zur Hälfte. Das Flageolett muß so ausgeführt werden, daß die Saite dort eben gerade so schwach gedämpft wird, daß sie auf den beiden Hälften immer noch frei schwingen kann. Würde man die Saite "greifen", wäre die Hälfte der Saite über dem Griffbrett nicht mehr an der Schwingung beteiligt. Das Ergebnis wäre eine schwingende Saite halber Länge, auf der aber wieder eine vollständige Welle hin und her schwappt. So wie oben dargestellt, nur eben auf einer Saite von 33 cm Länge.

Das Flageolett klingt eine Oktave höher als der Grundton der Saite. Der Klang ist etwas milder, flötenhafter als bei der ungestörten Saite. Ein großer Teil der Oberschwingungen, die für den charakteristischen Klang einer Saite verantwortlich sind, wird durch das Bedämpfen im ersten Flageolettpunkt ausgeblendet.

Das erste Flageolett. Es gibt also offenbar noch weitere. Natürlich gibt es die. Denn jeder Punkt, der die Saite in einen kleinen, ganzzahligen Bruch teilt, ist ja im Grunde ein Flageolettpunkt. Siehe Abschleppseil. Und es gibt sie auf beiden Seiten des 12. Bunds gespiegelt. Dabei gibt es natürlich auch etliche Flageolett-Punkte, die im klangliches Ergebnis gleich sind. Das kennt man an der Gitarre ja z.B. vom Flageolett am 7. Bund. Das Flageolett am 19. Bund liefert gerade den selben Ton. Weil es im Grunde egal ist, ob man die Saite bei 1/3 teilt oder bei 2/3.

Auf einen, recht weit verbreiteten Irrtum möchte ich hier aber hinweisen:

Die Position der Flageolettpunkte steht in keinem Zusammenhang
mit der Position der Bünde.

Warum ist das so?

Die Grundfrequenz einer Saite geht mit dem Kehrwert der Länge der Saite. Um Bundreinheit der Gitarre zu erzeugen, muß der Gitarrenbauer dazu die Bünde so setzen, daß sich die freie Länge der Saite von Halbton zu Halbton immer um einen ganz bestimmten Anteil verkürzt. In der gleichstufigen, wohltemperierten Stimmung wird von einem Bund zum nächsten die Saite immer gerade um ~5,6% ihrer bis dahin noch freien Länge verkürzt. (Mathematisch genau genommen verhält sich die Saitenlänge von einem Bund zum nächste gerade wie die 12. Wurzel aus 2; bei 12 Bünden gibt es dann genau den Faktor 1/2) .

Nun hat diese Herleitung aber eigentlich gar nichts zu tun mit den Zusammenhängen, wie sie hier für das Flageolett aufgezeigt wurden. Die Flageolett-Punkte ergeben sich ja, indem man die Saite einfach in 2, 3, 4, u.s.w. Teile teilt. Keine komplizierten Wurzeln. Nachfolgende Grafik zeigt die Lage der Flageolett-Punkte zu den Bundpositionen. Die lila Punkte simulieren dabei die Griffbrett-Markierungen, wie man sie auf Western- oder E-Gitarren findet. Die %-Skala bezieht sich auf die Länge der Saite:

Tatsächlich gibt es nur einen, natürlichen Flageolett-Punkt, der mit einem Bundstäbchen zusammen fällt, nämlich den am 12. Bund. Alle anderen, insbesondere die am 5. und am 7. Bund sind zumindest ein wenig gegen die Bundposition verschoben.

Auf noch einen wesentlichen Zusammenhang soll hier hingewiesen werden:

Aufgrund ihrer Erzeugung können die natürlichen Flageolett nur Naturtöne hervorbringen. Also Töne, deren Grundfrequenzen in ganzzahligem Verhältnis zueinander stehen. In der Artikelserie zur "Harmonie der Tonleiter" wurde gezeigt, daß diese "Naturtonleiter" mathematisch und musikalisch aber "nicht aufgeht". Für das Flageolett am 12. Bund ist das noch vollkommen unkritisch, hier greift ja das "pythagoreische Komma" nicht, und eine Frequenz-Verdopplung hören wir immer als reine Oktave. Für das Flageolett am 5. Bund spielt es auch keine Rolle, weil die Vervierfachung ja nur die Verdopplung einer Verdopplung ist und damit zwei Oktaven höher klingt. Das Flageolett am 7. Bund aber liefert eine reine Quinte. Und die ist gegenüber der wohltemperierten Quinte eben ein klein wenig verstimmt. Es ist nicht viel, aber es reicht, um irgendwie verstimmt zu klingen.

Daher sollte man das Flageolett am 7. Bund auch
nie zur Stimmung der Gitarre verwenden!

Das Ergebnis ist immer eine leicht verstimmte Gitarre. (Wobei - nicht, daß eine leicht verstimmte Gitarre nun etwas sooo ungewöhnliches wäre...)

Soweit also zur Veranschaulichung dessen, was beim Flageolett mit einer schwingenden Saite eigentlich passiert. Damit möchte ich den 2. Teil dieser Artikelserie beschließen. Im nächsten und letzten Teil soll noch etwas näher darauf eingegangen werden, wie man Flageoletts spieltechnisch erzeugt und wozu man sie einsetzen kann.

Weitere Artikel in dieser Sequenz:

Das Flageolett (1): Saiten schwingen nicht einfach, sie schlagen Wellen

Das Flageolett (2): Die Schönheit der Beschränkung

Anhänge:

Nachfolgend zwei Tabellen, die angeben, wo die natürlichen Flageolettpunkte unterhalb und oberhalb des 12. Bundes liegen, und um den wievielten Teil eines Bundabstandes sie ungefähr von der jeweils nächsten Bundposition abweichen:

Und nur für Freaks; zur Herleitung des Schwingungsspektrums der angeschlagenen Saite: Angenommen wurde hier ein sauber ausgeführter, angelegter Anschlag (Apogiando) an der Position b = 1/3,75 einer Saite mit Mensur 66 cm. Die Seite werde um eine Höhe h ausgelenkt und bei t = 0 losgelassen:

Die allgemeine Lösung ergibt sich nach einem Hamilton-Ansatz aus der Lagrange-Funktion für die transversale Wellengleichung mit Randbedingungen (feste Einspannung an den Enden). Die spezielle Lösung folgt durch Einsetzen der Anfangsbedingung in die Multiplikatoren der orthogonalen (in diesem Fall Fourier-) Zerlegung der allgemeinen Lösung. Daraus ergeben sich die auf h normierten Amplituden wie in der Graphik zum Spektrum angegeben.