Die Harmonie der Tonleiter (2): Der Terz mit der Terz

Geschrieben von: Norbert M.

oder: Weshalb Götter Metaphysiker aufs Glatteis führen können.

Kommen wir nochmal zurück auf die sog. Apfel-Affäre. Genauer gesagt auf eine ihrer Folgen: Die Terzenseligkeit. Es gibt in der Tat Hinweise darauf, daß da eine Rückwirkung stattgefunden hat. Der Erfinder der Physik (also ER...) hat sich nämlich - wie übrigens alle Physiker - auch bei der Erfindung der Terzen an das Prinzip der vereinheitlichten, genialischen Bequemlichkeit gehalten.

Nochmal in Steno rekapituliert die Verhältnisse, wie sie im ersten Teil hergeleitet wurden:

(Aus Gründen der Übersicht eben nicht in der Reihenfolge der Tonleiter, sondern in der Reihenfolge ihrer Herleitung)

C = 1/1

C' = 2/1 = ............................................................ = Oktave

G = 3/2 = ............................................................ = Quinte

F = 4/3 = (2/3)*(2/1) .............. = Oktave / Quinte ......... = Quarte

D = 9/8 = (3/2)*(3/2)*(1/2)....... = Quinte * Quinte / Oktave = Sekunde

A = 27/16 = (9/8)*(3/2) ........... = Sekunde * Quinte ........ = Sexte

E = 81/64 = (27/16)*(3/2)*(1/2).. = Sexte * Quinte / Oktave. = Terz

H = 243/128 = (81/64)*(3/2) ..... = Terz * Quinte ............. = Septime

E/D = 512/486 = 256/243 ......................................... = Sekunde (klein)

Sortiert in der Tonleiter: (Es ist immer noch nichts anderes als ein Spiel...)

C = 1/1

E/D = 512/486 = 256/243 ...................................... = Sekunde (klein)

D = 9/8 = (3/2)*(3/2)*(1/2).... = Quinte * Quinte / Oktave = Sekunde

E = 81/64 = (27/16)*(3/2)*(1/2) = Sexte * Quinte / Oktave = Terz

F = 4/3 = (2/3)*(2/1) ............ = Oktave / Quinte ........ = Quarte

G = 3/2 = ......................................................... = Quinte

A = 27/16 = (9/8)*(3/2) ......... = Sekunde * Quinte ....... = Sexte

H = 243/128 = (81/64)*(3/2) ..... = Terz * Quinte .......... = Septime

C' = 2/1 = ......................................................... = Oktave

Jetzt bilden wir mal Terzen, also einfach immer einen über den anderen gehüpft:

(Und dabei immer hübsch auf den weißen Tasten bleiben...)

E/C = (81/64)*(1/1) ... = 81/64 = Terz

F/D = (4/3)*(8/9) ..... = 32/27 = Terz klein

G/E = (3/2)*(64/81) ... = 32/27 = Terz klein

A/F = (27/16)*(3/4) ... = 81/64 = Terz

H/G = (243/128)*(2/3) = 81/64 = Terz

C'/A = (2/1)*(16/27) .. = 32/27 = Terz klein

Es ist also alles schon da! Auch die kleine Terz. Man braucht also nur die weißen Tasten zu verstehen und den Rest im Notfall schnell zu transponieren. Tatsächlich haben wir jetzt nach Ansatz und Denkweise des Naturwissenschaftlers aus der sehr geringen Anzahl von nur drei Prämissen (1. "Natürliche Zahlen"; 2. "2/1 = Oktave"; 3. "3/2 = Quinte") eine recht hohe Anzahl von Intervallen hergeleitet. Ich bezeichne diese gerne als die "echten" oder "rationalen" Intervalle.

Rational nicht deswegen, weil alle anderen unvernünftig wären, sondern weil ich bis hierhin allein mit der Bruchrechnung komme. Siehe "Rationale Zahlen" = Brüche aus ganzen Zahlen.

Warum aber "echt"? Nun, fragen wir mal so: Warum gibt es keine übermäßige Sekunde?

Das wäre das Intervall von C nach Dis bzw. von C nach Es. Geben könnte es sie schon, aber sie zu definieren wäre nicht wirklich notwendig. Das tonale Verhältnis, also das Intervall, ist durch die kleine Terz bereits geklärt. Das ist das, wo das Intervall herkommt.

Das andere ist, was ich mit dem Intervall mache. Also nicht die Physik des reinen Klanges, sondern was ich in der zeitlichen Abfolge der Klänge damit anstelle. Mit anderen Worten: Das musikalische Geschehen. Der es erschafft, der es "zusammen stellt" ist der "Kom"-"ponist", also nenne ich es auch das "kompositorische Geschehen".

Betrachte ich die Notation und gehe von einem reinen Satz aus, also Vorzeichen am Linienanfang und keine Erhöhungen oder Erniedrigungen innerhalb einzelner Takte, dann finde ich - egal in welcher Tonart - keine kleine Terz, die als große Sekunde notiert werden müßte. Also zwei Noten direkt benachbart, z.B. eine auf einer Linie, die nächste auf dem Zwischenraum direkt darüber. Egal in welcher Tonart, wenn ich zwei Noten so benachbart notiere, erhalte ich immer eine einfache oder eine kleine Sekunde, ein ganzer oder ein halber Ton, aber niemals eine kleine Terz, also drei Halbtöne.

Also brauche ich die Definition einer übermäßigen Sekunde als Musiker nicht wirklich. Weder tonal, noch kompositorisch.

Man sollte sich als Musiker angewöhnen, hier streng zu unterscheiden:

:: Was ist die natürliche Harmonie, das klangliche Geschehen, so wie es durch den Erfinder der Physik gegeben ist

:: und was ist das musikalische Geschehen, also das, was der Mensch - seinerseits ja auch nur Teil der Gesamterfindung - damit in der klanglichen Abfolge veranstaltet.

Und dann muß man noch unterscheiden, was der eine oder andere Apfel-Geschädigte da rein geheimnist, wo eigentlich nicht viel geheimnisvolles ist. Daß der Pythagoras - übrigens nach allem, was man so hört, ein echt widerlicher Zeitgenosse (genau wie Isaak Newton, da war er wieder, der Apfel...) - den Hippasos hat umbringen lassen, bloß weil der als erster zeigen konnte, daß es eben auch Zahlen gibt, die keine Brüche ganzer Zahlen sind, hat etwas mit Metaphysik zu tun. Wir Physiker nennen das heute je nachdem mal Aberglauben, mal Typologischen Schwachsinn. Aber damals waren eben noch andere Zeiten. Obwohl es Gegenden auf dieser schönen Erde gibt, wo diese Zeiten offenbar noch längst nicht vorbei zu sein scheinen. Der Apfel als Kulturgut.

Da war doch noch was...

Ein echtes Intervall fehlt noch, um komplett zu werden. Daß ich das verschwiegen habe, hängt mit der kleinen Mogelei aus dem ersten Teil zusammen, das mit den 129,75/128.

Ich meine den Tritonus. Für die meisten Musiker ist ein Tritonus das Intervall C -> Fis. Geht aber auch mit nur weißen Tasten. Da kommen Gitarristen eigentlich leichter drauf als andere: Einfach mal C auf der A-Saite greifen, Fis auf der D-Saite, und dann einen Bund runterrutschen. Dann komme ich auf das Intervall H-> F, das schaffe ich am Klavier wieder mit nur weißen Tasten. Nehmen wir als Prototypen des Tritonus das Intervall H->F.

Kurz nachrechnen: H/F = (243/128)*(3/4) = 729/512. Das ist wieder so ein Bruch, den man nicht kürzen kann, weil auf dem Bruchstrich nur 3en stehen, darunter nur 2en.

Damit haben wir als rationale (Bruchrechnung...) eine ganze Menge Intervalle gefunden:

C = 1/1

E/D = 512/486 = 256/243 ...................................... = Sekunde (klein)

D = 9/8 = (3/2)*(3/2)*(1/2).... = Quinte * Quinte / Oktave = Sekunde

E = 81/64 = (27/16)*(3/2)*(1/2) = Sexte * Quinte / Oktave = Terz

F = 4/3 = (2/3)*(2/1) ....... ..... = Oktave / Quinte ........ = Quarte

G = 3/2 = .......................................................... = Quinte

A = 27/16 = (9/8)*(3/2) .......... = Sekunde * Quinte ....... = Sexte

H = 243/128 = (81/64)*(3/2) ...... = Terz * Quinte .......... = Septime

C' = 2/1 = .......................................................... = Oktave

81/64 ....... = Terz (groß)

32/27 ....... = Terz (klein)

729/512 .... = Tritonus

Den Tritonus habe ich mir aufgehoben, weil ich durch seine Anwendung auf die Tonleiter recht schnell in Konflikt komme mit dem "Pythagoreischen Komma", das mit den 129,75/128. Warum es "Komma" heißt, weiß ich übrigens bis heute nicht. Vielleicht heißt es ja so, weil da der fiese, alte Pythagoras in seinem mystischen Ganzahlen-Weltbild mit der Realität in Konflikt kommt. ("Komma runter von deinem Bruch-Gedöns," sagte der Hippasos, und wurde drauf von Pythagoras gemeuchelt...)

Aber für die einfachen Harmonien ist das Pythagoreische System ganz brauchbar. Jedenfalls handlicher als die zwölfte Wurzel aus zwei hoch irgendwas, die man bräuchte, um das "Komma" in ein "Gehma" umzuwandeln. ("Gehma einen Spielen und Trinken und pfeifen wa' auf den ganzen Zahlenkram...")

So ist das. Mit den Äpfeln, den Adams und Evas, den Newtons, den Apfelmännchen und den anderen, den Metaphysikern...

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