Die Harmonie der Tonleiter (1): Die Rationalen Intervalle

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Geschrieben von: Norbert M.

Dienstag, 06. Januar 2009 um 22:29

oder: Was hat denn der Liebe Gott mit der Tonleiter zu tun?

Das folgende ist ein Spiel. Nicht mehr. Eines, für das man eine Klaviatur braucht, vorzugsweise die weißen Tasten, und etwas Kopfrechnen. Bruchrechnen genau gesagt. Mehr braucht es dazu nicht. Es enthält auch keine tiefere Weisheit. Es ist nur ein Spiel...

Was hat der liebe Gott mit der Tonleiter zu tun?

Nun, er hat neben dem uns bekannten Universum auch noch die natürlichen Zahlen erfunden. Daß der Mensch daraus die Bruchrechnung gemacht hat, hängt im weiteren Sinne mit der sog. Apfel-Affäre zusammen, deren genaue Umstände aber nie so genau geklärt wurden: Adam schwieg beharrlich - wie Männer das zuweilen tun, und Eva hatte danach mit noch so vielen Worten nur noch wenig bist gar nichts zu sagen. Dieser Zustand hielt eine ganze Weile, und in einigen benachbarten Kulturen hält er ja bekanntlich noch heute.

Jedenfalls gibt es als Ergebnis der Schöpfung (und nachfolgender Affäre)
- die natürlichen Zahlen
- die Bruchrechnung
- und es gibt da eine seltsame Eigenart unseres Gehörs:

Wenn ein Ton seine Frequenz verdoppelt, dann hören wir das als eine Oktave. Warum das so heißt, dazu später. Jedenfalls klingt der Ton zwar höher, aber trotzdem irgendwie gleich. Es gibt dafür Gründe, die im Aufbau unseres Innenohrs liegen, hat auch etwas mit den natürlichen Zahlen zu tun, aber das führt etwas weit. Es ist halt so, wir glauben das jetzt einfach mal.

Und dann gibt es noch ein weiteres Intervall, das aus allen heraussticht, dominiert sozusagen: Beträgt das Frequenzverhältnis gerade 3/2, dann hören wir das, was wir eine Quinte nennen. Ein auf seltsame Weise harmonischer Wohlklang. So wie rotes und blaues Licht zusammen Magenta ergeben, eine Farbe, die es im Regenbogen bekanntlich gar nicht gibt. Die aber trotzdem schön ausschaut. Magenta Licht hat unbestreitbar etwas Magisches an sich.

Ab hier setzt man sich am besten vor eine Klaviatur und zählt Tasten. Eine Quinte sind sieben Halbtöne, die Oktave erkennt man jeweils am Muster der schwarzen und weißen Tasten.

Also 2/1 = Oktave, 3/2 = Quinte. Die Zahlen 1, 2, 3, ... Hmmm...
Da drängt sich doch glatt die Frage auf: Hat das Verhältnis 4/3 etwa auch eine Bedeutung?

Hat es.

Ich zähle von C' sieben Halbtöne nach oben und lande bei G'.
G'/C' ist also 3/2, wenn man es als Verhältnis der Frequenzen ausdrückt.

Aber jetzt kommt's:

Ich zähle vom höheren C'' sieben Halbtöne nach unten und lande bei F'.

C''/F' ist also auch 3/2.

Also ist F'/C'' = 2/3

C''/C' ist 2/1, also ist (Bruchrechnen):

F'/C' = F/C'' * C''/C' = 2/3 * 2/1 = 4/3.

F'/C' ist also ein Frequenzverhältnis von 4/3,
und wir hören und nennen das eine Quarte.
Nach unten.
Nach oben ist es C''/F' = 3/2 eine Quinte.
Quarte und Quinte hängen also zusammen.
4 und 5 sind sozusagen musikalisch verwandt über 2/3 und 3/2.
Die krummbucklige Verwandtschaft der natürlichen Zahlen - sozusagen.

Damit haben wir schon drei weiße Tasten: C', F', G' = 1, 4/3, 3/2.

Machen wir mal weiter.

Von G' sieben Halbtöne hoch landen wir beim D''.

D''/G'=3/2, folglich ist D''/C'=3/2*3/2 = 9/4.

D''/D' ist eine Oktave, also 2/1,

dann ist D'/C' = 9/4*1/2 = 9/8.

Die Sekunde D'/C' ist also 9/8 im Frequenzverhältnis.

Damit haben wir schon vier weiße Tasten: C', D', F', G' = 1, 9/8, 4/3, 3/2.

Weiter im Text: Von D'' sieben Halbtöne nach oben, landen wir bei A''.

Also A''/C' = 3/2*3/2*3/2 = 27/8.

Eine Oktave runter A'/C'=27/8*1/2=27/16.

Probe aufs Exempel: D', sieben Halbtöne rauf ist A'

Also A'/C'=9/8*3/2=27/16. Paßt.

Probe aufs Exempel aufs Exempel:

G', zwei Halbtöne rauf ist eine Sekunde, landen wir bei A'

Also A'/G' müßte dann ja 9/8 sein.

A'/G'=(27/16)/(3/2)=27/16*2/3=54/48,

Kürzen mit 6 gibt 9/8, eine Sekunde. Paßt auch.

A'/C' = A'/G'*G'/C' = 9/8 * 3/2 = 27/16. Paßt immer noch.

Damit haben wir fünf weiße Tasten: C', D', F', G', A' = 1, 9/8, 4/3, 3/2, 27/16.

Weiter im Text: A'', sieben Halbtöne hoch, landen wir bei E'''.

Also E'''/C'=3/2*3/2*3/2*3/2=27/8*3/2=81/16.

Eine Oktave runter, also geteilt durch 2:

E''/C'=81/32.

Probe aufs Exempel: A', sieben Halbtöne hoch, gibt wieder E''.

Also E''/C'=27/16*3/2=81/32. Paßt.

Eine Oktave runter, also nochmal geteilt durch 2:

E'/C'=81/64

Probe aufs Exempel aufs Exempel aufs Exempel:

D', zwei Halbtöne rauf, gibt E'

Dann wäre E'/C' = 9/8*9/8 = 81/64. Paßt.

Schade, daß man das nicht kürzen kann. Darf einen andererseits auch nicht wundern: Wenn man genau hinschaut, findet man auf der einen Seite des Bruchstriches bisher immer Vielfache von 3, auf der anderen Seite Vielfache von 2. Da kürzt es sich gar nicht gut. Aber sei's drum:

Damit haben wir sechs weiße Tasten:
C', D', E', F', G', A' = 1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16.

E', sieben Halbtöne hoch, gibt ein H'

Also H'/C'=81/64*3/2 = 243/128.

Kürzt sich erst recht nicht.

Die Proben aufs Exempel aufs... schenke ich mir.

Sieben weiße Tasten:

C', D', E', F', G', A', H' = 1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128.

Die Reihe schaut schon etwas unhandlich aus. Irgendwie sind das alles Brüche, die nicht so recht zusammenzupassen scheinen. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 3*128=384. Wenn man die Brüche entsprechend erweitert (eine gute Übung im Kopfrechnen), dann erhält man

C' = 384/384
D' = 432/384
E' = 486/384
F' = 512/384
G' = 576/384
A' = 648/384
H' = 729/384
C'' = 768/384

Lassen wir mal die Nenner der Einfachheit halber weg.
Es zählen ja eh bloß die Verhältnisse:

C', D', E', F', G', A', H', C'' = 384, 432, 486, 512, 576, 648, 729, 768

Bildet man nun die Verhältnisse benachbarter Zahlen,
(und kürzt gleich noch um eine Oktave, um die Tüttelchen hinter den Noten loszuwerden,)
dann erhält man:

D/C = 432/382 = 1,125, das bezeichnen wir mal als Ganzton
E/D = 486/432 = 1,125, wieder ein Ganzton
F/E = 512/486 ~ 1,053, das nennen wir mal einen Halbton
G/F = 576/512 = 1,125, Ganzton
A/G = 648/576 = 1,125, Ganzton
H/A = 729/648 = 1,125, Ganzton
C/H = 768/729 ~ 1,053, Halbton

Man braucht also nicht mehr zu wissen, als daß eine Quinte zum Grundton im Frequenzverhältnis 3/2 steht, und schon stehen die weißen Tasten auf einmal in wundersam logischem Verhältnis zueinander. Sogar daß es zwischen E und F sowie zwischen H und C keinen Platz braucht für eine schwarze Taste findet man damit heraus.

Soweit sieht das alles einigermaßen logisch und harmonisch aus. Aber Schreiber dieses hat schon ein wenig gemogelt. Man muß allerdings etwas genauer hinsehen, damit man es merkt.

Probe aufs Exempel: Zwei Halbtonschritte aufeinander geben einen Ganzton. Also 1,053*1,053~1,110, aber nicht 1,125. Hätte es aber geben sollen. Hmmm.... geht also doch alles nicht so ganz auf.

Nochmal nachrechen: 512/486 gekürzt gibt 256/243, weiter geht's nicht. Man kann den Bruch schreiben als 2^8/3^5, Zähler lauter 2er, Nenner lauter 3er - da geht kürzungstechnisch nix mehr. Quadrieren: 256/243*256/243=65536/59049. Das kann man aber immer noch nicht kürzen. Gibt also auch nicht 1,125. Es geht nicht auf.

Probieren wir es anders herum: Eine Sekunde war 9/8. Davon die Wurzel ist 3/wurzel(4). Geht auch nicht. Taschenrechner: Wurzel(1,125)=1,061. Nein, beim Übergang von den weißen auf die schwarzen Tasten paßt es irgendwie nicht mehr so richtig. Jetzt müßte man Adam fragen, wegen der Bruchrechnung, aber das geht auch nicht. Es gibt also einen kleinen Fehler, den wir noch nicht erklären können.

Noch ein Fehler: Gehe ich 12 Quinten hoch, dann müßte ich ja wieder bei einem C herauskommen. Also (3/2)^12=(3^12)/(2^12)=531441/4096. Das müßte ein Vielfaches von 2 sein. Kann es aber nicht, weil der Zähler eine ungerade Zahl ist. 2^8 kommt am nächsten dran, aber der Fehler ist ~ 129,75/128. Dieses Zahlenverhältnis, auch genannt das "Pythagoreische Komma", hat in der Geschichte zu Intrige und Meuchelmord geführt - aus weltanschaulichen Gründen. Doch dazu später mehr.

Die Tonleiter geht also irgendwie nicht so ganz auf. Jedenfalls nicht, wenn man nur mit ganzen Zahlen und Brüchen arbeitet. Darum gibt es die harmonische Stimmung und für Gitarristen leichte Probleme beim Zusammenspiel mit Fanfaren oder Alphörnern. Aber der Lautstärke-Unterschied sorgt allein schon dafür, daß das nicht weiter stört.

Bleibt als Fazit, daß der Mensch bei der Erfindung der Bruchrechnung entweder nicht wirklich nachgedacht hat, oder daß Gott am Ende jener legendären sieben Tage nicht mehr so ganz im Terminplan lag und etwas improvisieren mußte. Wer wollte dafür kein Verständnis haben...

Vielleich sollen wir es aber auch gar nicht so ganz verstehen. Wäre ja auch möglich.

Ist ja wie gesagt nur ein Spiel...

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